2010-11-06　作者：丁杭缨　　来源：人民教育
　　给学生一个立体的“数学”

　　——例谈“数形结合”

    在我们周围有一些害怕学数学的孩子，究其根本原因，是没有掌握基本的数学学习方法，碰到问题常常束手无策，不知道从哪里开始思考，在被打击n次后，变得消极、反应迟钝、焦虑，有的甚至就此放弃。“积极心理学”之父马丁·塞利格曼称之为“习得性无助”，他认为人很容易成为思维和习惯的囚徒。我一直在寻找帮助孩子们摆脱这种困境的方法，结果发现数形结合的思想是根除这种“无助”感的非常有用的思维方式之一。如果每一节数学课中，教师都能想办法让孩子们体验到数形结合的思想，由数及形、因形寻数，找到攀登的脚手架，数学在他们的眼中也会随之变得简洁而丰富。

　　数形结合作为一种思想

　　数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，将抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。因此，数形结合不仅仅是一种简单的关系，更是一种数学思想（方法）。

　　    数与形是数学中最古老、最基本的两个研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系，一方面各自独立存在于自己的领域，另一方面两者又完美地结合在一起，在宇宙空间释放着关于空间形式与数量关系的无穷无尽的能量。从古到今，很多人曾经对数与形的关系做过生动的描绘：从《九章算术》里的“析理以辞，解体用图”到华罗庚“数形本是相倚依，怎能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；几何代数统一体，永远联系莫分离”的诗句；从古希腊数学家毕达哥拉斯的数阵图、毕达哥拉斯定理（勾股定理）到美国数学家斯蒂恩提出的“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且创造性思索问题的解法”，等等，所有这些都向我们深刻地描绘了数形之间那种美妙的契合关系。

　　小学阶段的数学学习中数形结合的思想具有得天独厚的优势。第一，从小学数学教材的编写来看，有关数形的内容没有被人为割裂，而是交替呈现，螺旋上升，为渗透数形结合的思想提供了可能；第二，小学是学生系统地学习数学的初级阶段，他们头脑中关于数与形没有明显的分隔符，是建构数形结合思想的极佳时期，为今后的数学学习乃至良好思维方式的形成奠定了基础；第三，小学生的身心特点决定了他们的学习特点，在以形象思维为主渐渐向抽象思维的过渡中，数形的结合正是顺利完成这个过渡的最好的媒介，借助形的形象来理解数的抽象，利用数的抽象来提升形的内在逻辑，这也正是数学学习的本质。

　　在课堂教学中，教师运用数形结合思想的领域常见于数概念、数的计算及数量（关系）的问题解决中。通常情况下以代数为出发点，通过各种形式揭示隐含在它内部的几何背景，启发学生的思维，找到解题的途径。但是，这并不是数形结合思想的全貌，在解决几何问题时同样要用到数形结合，即以几何为出发点，将直观的图形与抽象的数学语言结合起来，将形象思维和抽象思维结合起来，实现具体形象、表象与抽象概念的联系和转化，化直观为抽象，通过数量关系的研究来解决问题。可以想象，当学生的思维能够自觉并且自由地穿梭在数与形之间，那是一个多么美妙的教与学的境界。 
 
数缺形时少直觉，形少数时难入微

　　数形结合的思想要完全落实在课堂教学中绝非易事，或左或右都会有形而上和形而下的嫌疑。因此，需要找到一些可操作、可检测的点，让数形结合的思想实实在在地刻画于学生的头脑中。经过大量的课堂实践，我认为数形结合思想在教学中有四种不同的表现形式，下面以一些教学片段为例逐一解释说明。

　　一、数形分工。

　　在学生的学习中，数与形一方面分别以不同的方式存在于各自的领域，另一方面又因为存在方式的不足互相补充。

　　在教学“小数的意义”一课中，学生初步掌握了一位小数的意义，转而学习两位小数的意义时，我设计了这样一个情境：

　　学生能自动把两个分数转化为小数0.01和0.99，如果让学生就此对两个小数进行意义上的解释并不是一件难事，但很容易陷入机械照搬一位小数意义理解的误区。在这句话的下面配上两幅图后，学生会在头脑中经过快速的分析与比较，用百格图把0.01和0.99的意义表达出来。这里，表面上数与形各有分工，实质上却是在学生头脑中补充0.01和0.99的存在方式，最后达到数形结合的目的，使学生对小数意义的理解更为完整。

　　二、数形对应。

　　数与形虽然存在于两个系统中，但数系统中某一项的组成要素和形系统中某一项的要素在某种意义上有着一一对应的关系。

　　以“1000以内数的认识”一课为例，在学生通过例题学习初步理解数意义的基础上，我设计了下面一项独立作业：

　　这道题目跟例题相比，在呈现方式上的最大区别是，一改例题的“具体的数—半具体半抽象的数—抽象的数”的顺序，让学生经历“抽象的数—半具体半抽象的数—具体的数”的过程：学生们首先从写数的角度书写803这个数；接着从数意义理解的角度，在计数器上画出表示803所应该拨的珠子；然后从回归生活的角度，在小棒图中圈出803根小棒。反馈的重点则放在对十位上“0”的意义理解上，“书写时十位上的零能不能省略？”“计数器上这个零在哪里？表示什么意思？”“圈小棒时如何表示十位上的零？”借助上面三个问题突破“数中间有零”的教学重点与难点。这道题目的另一个重要目的是帮助学生多角度理解803的意义，通过三个连续动作把具体的小棒图、半具体半抽象的计数器、抽象的三位数中的各个数位一一对应在一起后，“八个百、零个十、三个一”就清晰、生动、准确地刻画在学生的头脑中了。 
三、数形联系。

　　即在数与形独立、对应的基础上，让两者接上关系，互相作用互相影响，以便于学生更深刻地理解知识，更全面地揭示知识的本质。

　　在“分数的意义”一课中，学生借助大量的图形操作，经历比较、归纳，抽象出分数意义的文字表达后，再要求他们运用所学知识解释具体分数的意义时，很多学生往往只会停留在抽象的模仿阶段，习惯用“把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份”来解释所有具体情境中的分数意义，虽然在教师的引导下，部分学生能够及时纠正认识中的偏差，但这并不能完全证明学生已经达到了学习目标。因此，我在这个教学环节中尝试着适时添加或转化为图的形式，较好地改变了学生理解分数局限于语言文字层面的尴尬局面。同时也进一步诠释了“如果一个特定的分数可以被转化为一个图形，那么有关分数意义的思想就整体地把握了，并且还具有学生各自的特点”。教学实录如下：

　　师：接下来请你运用刚才所学的知识，说说下面几个分数的意义。

　　生：1／8就是把单位“1”平均分成8份，表示这样的1份的数。

　　师：你能结合题目说得具体一点吗？

　　生：就是把人平均分成8份，头部的长度表示了这样的1份。

　　师：是把人的体重平均分成8份吗？这里的单位“1”是指什么？

　　生：不是，是把人的身高平均分成8份，单位“1”是人的身高。

　　师：对，找准单位“1”很重要，假设这条线段（教师画草图）表示单位“1”即人的身高，你能通过画图来进一步说明它的意义吗？

　　生：（边画图边讲解）把这条线段也就是身高平均分成8份，第1份就是头部。

　　师：一个普通成年人的身高相当于8个头部的长度，你们知道最美的身材是怎样的吗？——九头身，是什么意思呢？

　　生：身高相当于9个头部的长度，他们头部的长度占身高的九分之一。

　　生：第二题表示把长江干流平均分成5份，其中的3份受到了不同程度的影响。

　　师：说说谁是单位“1”？

　　生：长江所有的干流（水体）。

　　    师：如果这个正方形代表长江所有干流水体，你能把这个分数的意思在图上表示吗？（学生尝试画草图）。

　　……

　　生：下一题是把死海的含盐量平均分成10份，表层的含盐量占了3／10。

　　师：这里单位“1”是指谁？

　　生：死海的含盐量。

　　生：错了，单位“1”应该是死海表层的水。

　　生：把死海表层的水平均分成了10份，盐占了其中的3份，叫做3/10。

　　师：你能用图来解释这个分数的意义吗？

　　…… 
四、数形变换。

　　下面以几何教学为例谈谈数形变换。

　　这是小学数学（人教版四年级下）“三角形三边关系”中的一道习题：

　　从表面上看这道题非常简单，绝大部分学生都能解答。如果我们的教学目标仅仅停留于此，那么本课教学就没有意义。这道习题既然归属几何领域，在设定教学目标时，我们就不能只关注它代数领域的逻辑推理，把目标降低为会用“a+b>c”进行准确而迅速的判断，而要重视作为几何的空间观念的建立以及空间观念中数的变化引起形的变化的规律。正是因为看到了这一点，我在挖掘这道习题背后的数学内容时强调了形与数的结合，使简单的判断上升为复杂的数形变换。教学实录如下：

　　师：请同学们独立完成此题，之后同桌交流。

　　师：第1题你是怎么判断的？

　　    （学生把每两个数相加，与第3个数比较得出结果。）

　　师：判断正确，但老师有一个疑问，每道题都加三遍，有点麻烦。

　　生：只要最短的两边之和大于第三条边就行了。

　　师：为什么呢？

　　生：连最短两边的和都大于第三边，其他比它长的两边加起来肯定大于第三边了。

　　师：好，这是判断三边关系最优的方法，我们用它来判断其余三道题。

　　……

　　师：第一组的三条线段非常有意思，3，4，5是三个连续的自然数，那是否可以得出这样的结论，只要三边的长度是三个连续自然数都可以围成三角形呢？

　　生：不一定。1，2，3不行，1加2等于3。

　　生：一条边是0也不行，0就表示其中一条线段没有。

　　师：对，除了0，1，2和1，2，3以外呢？举举例子看。

　　生：都可以，比如：三条边长度是7，8，9；100，101，102……

　　师：有很多。大家想象一下，3，4，5三条线段围成的图形会是什么样子的？

　　（大多数学生无法想象。）

　　生：是直角三角形。

　　师：你的空间观念太棒了！我们来看一看到底是什么三角形？（课件演示。）

　　师：到中学我们还会学到这个三角形，有一个勾股定理，三边分别称作勾三股四弦五。

　　师：第2题三条边是3，3，3。它围成的又是怎样的三角形呢？

　　生：是一个等边三角形。（课件演示。）

　　师：三条边相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形。

　　生：2，2，6，不能围成三角形。（课件演示。）

　　师：3，3，5，这一组线段围成的三角形又是怎样的呢？

　　生：是等腰三角形。

　　师：因为两条边相等是吗？知识学得还真多。

　　（课件演示。）

　　师：第4题的等腰三角形我很感兴趣。如果把5厘米的边换一条，可以怎么换呢？为了方便研究，线段取整厘米数。

　　生：1～5，第三条边不能等于或大于6，因为3加3等于6。

　　师：想象第三条边是1厘米的时候，这个三角形是怎样的？能用手表示一下吗？

　　生：是很尖的。（课件）

　　师：第三条边是2厘米的时候呢？

　　生：再胖一些。

　　师：第三条边是3呢？4呢？（课件演示三边分别为1，2，3，4时的三角形，以帮助学生感知图形的变化。）

　　师：现在如果保留5厘米的边，把其中3厘米的边换掉，又可以怎么换呢？

　　    ……

　　师：想象一下，第三条边分别是5，6，7时，这条边所对应的那个角会有什么变化？

　　生：会越来越大。

　　师：真厉害，我们一起来看图，是否真的像这个同学所说的那样？（屏幕显示三条边分别是5，6，7时的三角形图形。）

　　生：这条边所对应的那个角也在慢慢变大，开始是锐角，后来是钝角了。

　　从上面的教学片段中不难看出学生的学习变得分外有价值：从“优化围成三角形三条边的判断方法”到“三条边的长度分别是三个连续自然数的推理”、从“勾三股四弦五直角三角形的想象”到“等边、等腰三角形的勾勒”、从“不能围三角形的小棒的调换”到“三角形第三边范围的猜想”、从“边的长度变化引起三角形形状的变化”到“边所对应的角也同时发生变化”等等，通过数与形之间的变化、联系及自然的转化引起学生的思考和讨论，让学生自己发现规律，纠正、补充着关于三角形三边关系的错误或片面的认识，从而把三角形三边关系的知识一步步引向深入。因此，这个片段对学生的学习起到了两个方面的作用：一是让学生从各自的经验背景出发，推出关于三角形三边关系的合乎逻辑的知识假设变得相对严谨，二是让学生感知到观察、分析、解决问题需要从（数、形）多个角度去完善的思维方式。在教学中，三角形三边关系的意义建构始终穿梭在数与形之间，学生比较深刻地体会到在三角形这个简单的图形中数的变化引起形的变化，形的背后是数的支撑，形与数互相影响、互相制约，学习显得更具数学味和生命力。 
一个系统结合的例子

　　数形分工、数形对应、数形联系、数形变换四个维度既是数形结合思想的不同表现形式，又可以作为在教学中落实数形结合思想的一般顺序。在“两位数笔算乘法”的新知教学中，我一直在思考一个问题：如何在算理算法上突破以往的思维惯性，让计算教学体现数形结合的思想呢？于是，我按照这个顺序进行了尝试，没想到也取得了意想不到的效果。

　　第一步：数形分工——为笔算乘法的引入打下伏笔。

　　师：看大屏幕，我们一起来解决一个问题：6位小朋友参加羽毛球训练，教练员要求“每人准备30只羽毛球”，他们训练了一个月后剩下的羽毛球只数分别是（如图）：

　　师：看到6个小朋友用剩下的羽毛球只数，你有什么想说的？

　　生：6个人中有3个人训练后剩下的羽毛球只数是一样的，另外3个人也一样。

　　师：这个小朋友的眼睛真亮，他马上看到了这6个数中有3个数是相同的，还有3个数也是相同的，一下子找准了这组数的特点。我按照这个小朋友的意思，把它们排排队。老师把图形也进行了整理：

　　赵阳、孙虹、钱凡剩下的羽毛球只数都是12个，王芳、陈园、张晴剩下的羽毛球只数都是21只。

　　师：老师想提一个数学问题：（板书）训练前，6人一共有羽毛球多少只？你能不能也提一个问题，跟我这个问题能够相对应的？

　　生：训练后，6人一共有多少只羽毛球？

　　第二步：数形对应——充分展示笔算乘法的算理。

　　师：刚才同学们分别用口算的方法、竖式的方法尝试计算了21×3的积。这两种方法你看懂了吗？为了证明大家已经理解了，老师想和同学一起合作一下，我点竖式中的一个（部分）数，你们点出它相当于横式中的哪一步？在这幅图中，又是指哪一部分呢？

　　（师点“3”，生点“3×1=3”，另一生指出了图中王芳、陈园、张晴所剩下的羽毛球中，零散的3只。师再指6，生圈3×20=60，另一生指出3人剩下的6盒羽毛球。）

　　第三步：数形联系——为进一步理解算理与算法提供丰富的支撑。

　　师：竖式中的每一步和口算、图都是有密切联系的，我们一起仔细观看大屏幕：

　　第四步：数形变换——比较全面地展示算理与算法的多样性。

　　师：刚才我们计算了21×3和12×3，再把两个积相加，算出还剩羽毛球99只。老师也解答了这个问题，但是我的算式是这样的：33×3=99，请你猜一猜，老师是怎么想的？

　　生：知道了，21和12加起来是33，再把33和3乘起来。

　　师：请你在图上指给大家看，21和12加起来是什么意思？

　　……

　　师：请你用竖式计算33×3。

　　（学生独立计算、互相说明计算方法。）

　　数形结合既是教师教学中的一种重要手段，也是学生数学学习的目的。在具体的教学中，数与形没有谁轻谁重、谁先谁后的规定性，数形结合只是一种思想使然。每一个教师根据自己对数学及学生的理解，透过不同的滤镜看到的是千姿百态的数与形，关键是要找到数形结合的那个起点，然后在教学中潜移默化地引导学生往这个方面发展，为他们今后的学习创设妙不可言的境界。

　　（丁杭缨）(原载《人民教育》2010年第7期)